橋，二重辺連結成分分解

説明

無向グラフ g に対して橋と二重辺連結成分が次のように定義される (cf. 関節点，二重頂点連結成分)．

• 辺 e が橋である iff g から e を除いたグラフが非連結．
• 頂点の集合 vs が二重辺連結成分である iff vs に制限したグラフは橋を含まない．

すべての橋とすべての二重辺連結成分を求めるためには深さ優先探索を用いればよい．

以下のプログラムは橋と二重辺重連結成分を同時に求めている．関節点のコードと違い，両方求めるためのコード量が一方だけを求めるコード量とそれほど違わない．

有向グラフの二重辺連結成分は強連結成分と呼ばれる．それを求めるアルゴリズムはこれとほとんど同一である．

計算量

O(V+E)

使い方

const Graph& g

無向グラフ．

Edges &brdg

橋のリストが出力される．

vector< vector<int> >& tecomp

二重辺連結成分のリストが出力される．

ソースコード

void visit(const Graph & g, int v, int u,
    Edges& brdg, vector< vector<int> >& tecomp,
    stack<int>& roots, stack<int>& S, vector<bool>& inS,
    vector<int>& num, int& time) {
  num[v] = ++time;
  S.push(v); inS[v] = true;
  roots.push(v);
  FOR(e, g[v]) {
    int w = e->dst;
    if (num[w] == 0)
      visit(g, w, v, brdg, tecomp, roots, S, inS, num, time);
    else if (u != w && inS[w])
      while (num[roots.top()] > num[w]) roots.pop();
  }
  if (v == roots.top()) {
    brdg.push_back(Edge(u, v));
    tecomp.push_back(vector<int>());
    while (1) {
      int w = S.top(); S.pop(); inS[w] = false;
      tecomp.back().push_back(w);
      if (v == w) break;
    }
    roots.pop();
  }
}
void bridge(const Graph& g, Edges& brdg, vector< vector<int> >& tecomp) {
  const int n = g.size();
  vector<int> num(n);
  vector<bool> inS(n);
  stack<int> roots, S;
  int time = 0;
  REP(u, n) if (num[u] == 0) {
    visit(g, u, n, brdg, tecomp, roots, S, inS, num, time);
    brdg.pop_back();
  }
}

Verified

二重辺連結成分は未検証．

• UVA 796 - Critical Links, 0.057 sec, -- kB