最小費用流 (Primal-Dual)

説明

最小費用流問題は，始点 s から終点 t までの流量 F のフローでコストが最小のものを求める問題である．Primal Dual は最小費用流問題を最短路反復で解くアルゴリズムである．

最短路反復アルゴリズムとは始点から終点までの重みの最短路を求め，そこに流せる限り流す．これを流したい分だけ流しきるまで (または流せなくなるまで) 繰り返す．といった原理に基づくアルゴリズムのことである．この最短路の計算を保守的なポテンシャルを用いて Dijkstra で行うものが Primal-Dual 法である．

計算量

O( V^2 U C )，ただし U は容量合計，C は費用合計．

使い方

グラフは有向で逆辺は無いものとする．

Graph &g

有向で，任意の辺 (u,v,capacity,cost) に対して逆辺 (u,v,0,-cost) があるグラフ．この条件を満たす上で単純グラフでなければならない．

int s, int t

フローの始点と終点．

戻り値

費用と流せた流量の対．

補足

• 複数の始点を持つフローに対しては超始点を作ってそこからのフローに変換する．終点も同様．
• グラフが無向の場合は頂点を倍にして対応する．

#define RESIDUE(u,v) (capacity[u][v] - flow[u][v])
#define RCOST(u,v) (cost[u][v] + h[u] - h[v])
pair<Weight, Weight> minimumCostFlow(const Graph &g, int s, int t) {
  const int n = g.size();
  Matrix capacity(n, Array(n)), cost(n, Array(n)), flow(n, Array(n));
  REP(u,n) FOR(e,g[u]) {
    capacity[e->src][e->dst] += e->capacity;
    cost[e->src][e->dst] += e->cost;
  }
  pair<Weight, Weight> total; // (cost, flow)
  vector<Weight> h(n);

  for (Weight F = INF; F > 0; ) { // residual flow
    vector<Weight> d(n, INF); d[s] = 0;
    vector<int> p(n, -1);
    priority_queue<Edge> Q; // "e < f" <=> "e.cost > f.cost"
    for (Q.push(Edge(-2, s)); !Q.empty(); ) {
      Edge e = Q.top(); Q.pop();
      if (p[e.dst] != -1) continue;
      p[e.dst] = e.src;
      FOR(f, g[e.dst]) if (RESIDUE(f->src, f->dst) > 0) {
        if (d[f->dst] > d[f->src] + RCOST(f->src, f->dst)) {
          d[f->dst] = d[f->src] + RCOST(f->src, f->dst);
          Q.push( Edge(f->src, f->dst, 0, d[f->dst]) );
        }
      }
    }
    if (p[t] == -1) break;

    Weight f = F;
    for (int u = t; u != s; u = p[u])
      f = min(f, RESIDUE(p[u], u));
    for (int u = t; u != s; u = p[u]) {
      total.first += f * cost[p[u]][u];
      flow[p[u]][u] += f; flow[u][p[u]] -= f;
    }
    F -= f;
    total.second += f;
    REP(u, n) h[u] += d[u];
  }
  return total;
}
  

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• UVA 10594 (Data Flow), 9127 MS, 1476 KB. ただし vector を配列で書き換えた．
• UVA 10746, 43 MS, -- KB
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