強連結成分分解

説明

有向グラフ g の部分頂点集合 S が強連結であるとは，任意の x, y \in S に対して有向道 x --> y が存在することをいう．同じ強連結成分に入ることは同値関係となるので，この同値関係でグラフを分解することができる．これを強連結成分分解という．

強連結成分分解を求めるために，しばしば二回の深さ優先探索を行うアルゴリズムが紹介されるが，そのアルゴリズムでは逆グラフを作る必要がある．以下のアルゴリズムは，逆グラフを作らず，一回の深さ優先探索でそれを行う．

計算量

O(V+E)

使い方

const Graph& g

有向グラフ．

vector< vector<int> >& scc

グラフの強連結成分．

ソースコード

void visit(const Graph &g, int v, vector< vector<int> >& scc,
    stack<int> &S, vector<bool> &inS,
    vector<int> &low, vector<int> &num, int& time) {
  low[v] = num[v] = ++time;
  S.push(v); inS[v] = true;
  FOR(e, g[v]) {
    int w = e->dst;
    if (num[w] == 0) {
      visit(g, w, scc, S, inS, low, num, time);
      low[v] = min(low[v], low[w]);
    } else if (inS[w])
      low[v] = min(low[v], num[w]);
  }
  if (low[v] == num[v]) {
    scc.push_back(vector<int>());
    while (1) {
      int w = S.top(); S.pop(); inS[w] = false;
      scc.back().push_back(w);
      if (v == w) break;
    }
  }
}
void stronglyConnectedComponents(const Graph& g,
    vector< vector<int> >& scc) {
  const int n = g.size();
  vector<int> num(n), low(n);
  stack<int> S;
  vector<bool> inS(n);
  int time = 0;
  REP(u, n) if (num[u] == 0)
    visit(g, u, scc, S, inS, low, num, time);
}

Verified

• UVA 247 - Calling Circles, 0.619 sec, 528 kB